Контрольная по математике Линейная алгебра Дифференциал функции Решение интеграла Типовые задачи Вычисление объема тела Аналитическая геометрия

Математика примеры решения задач самостоятельной работы

Аналитическая геометрия

Задача

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:

уравнение стороны AD;

уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;

длину высоты BK;

уравнение диагонали BD;

тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Решение.

Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки  и .

Рис. 1

Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.

 

Рис. 2

Суммой двух векторов  и  называется вектор , который идет из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор  приложен к концу вектора  (рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор  в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы ,…,  образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нулевому вектору  .


Разностью двух векторов   и  называется вектор , являющийся суммой векторов  и . Отметим, что вектор  направлен к концу вектора , если  и  приведены к общему началу ( рис. 2.2, б).

Понятие функциональной зависимости. Пусть даны два непустых множества   и  множества . Если каждому элементу  ставится в соответствие один и только один элемент , то  называется функцией  (отображением) аргумента . Это записывается в виде

.  (4.1)

Другими словами, с помощью функции  подмножество  отображается в подмножество , поэтому вместо соотношения (12.1) допустима запись

. (4.2)

Подмножество  называется областью определения (существования) функции , подмножество  – множеством ее значений. Аргумент  часто называют независимой переменной, функцию  – зависимой переменной, а соответствие между ними – функциональной зависимостью.

Кроме буквы  для обозначения функций используют и другие буквы, например: , , ,  и т.д. Значение, которое функция  принимает при , обозначается .

Составим уравнение прямой AD. Составим уравнение высоты , проведенной из вершины  на сторону  как уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой . Найдем уравнение диагонали  как уравнение прямой, проходящей через точки и , где  - середина отрезка . Найдем тангенс угла между диагоналями  и .

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Найти область определения функции .

Найти расстояние от точки  до плоскости : .

Найти косинус угла между плоскостями  и .

Найти направляющий вектор прямой .

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой :

Найти угол между прямой :  и плоскостью : ..

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно прямой : .

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости :

К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.

Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую.

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами


На главную