Замена
переменных в тройных интегралах
Найти
объем области U, заданной неравенствами 
Найти объем наклонного параллелепипеда,
заданного неравенствами 
При вычислении
тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это
позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.
Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z
в области U:
Требуется вычислить
данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и
новых координат описывается соотношениями: 
Предполагается, что выполнены следующие условия: - Функции φ, ψ,
χ непрерывны вместе со своими частными производными;
- Существует взаимно-однозначное
соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками
области U' в пространстве uvw;
- Якобиан преобразования I (u,v,w),
равный
отличен от нуля и сохраняет
постоянный знак всюду в области интегрирования U.
Тогда формула замены
переменных в тройном интеграле записывается в виде: 
В приведенном выражении 
означает
абсолютное значение якобиана. Для вычисления тройных интегралов часто используются
цилиндрические и сферические координаты.Ниже приводятся примеры вычисления
интегралов с использованием других преобразований координат.
Соленоидальное
поле. Векторная трубка в соленоидальном поле
Определение.
-
соленоидальное поле, если 
.
Векторная
линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии
совпадает с 
.
Векторная
трубка – это совокупность векторных линий.
Пусть 
-
сечения векторной трубки и 
-
ее боковая поверхность. 
.
Рассмотрим внешнюю нормаль к 
и
применим теорему Остроградского: 
,
в случае соленоидального поля. Итак, 
.
На 
по определению
векторной линии 
,
поэтому 
или
. Изменяя
направление нормали на 
на
противоположное получаем, что поток соленоидального поля через поперечные
сечения векторных трубок постоянен.
