Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Курсовой расчет по сопромату
Расчет на жесткость
Испытание материалов на выносливость
Определение напряжений в стенке
тонкостенного сосуда
Проверка теории изгибающего удара
Расчет на жесткость стержня
постоянного сечения
Вычисление моментов инерции
Определение модуля сдвига
для изотропных материалов
Расчет фермы козлового крана
Математика
Типовой расчет
  • Доказать сходимость ряда 
  • Основные свойства преобразования Лапласа
  • Вычислить интеграл
  • Теория вероятностей и
    математическая статистика
  • Формула полной вероятности
  • Локальная и интегральная теоремы Лапласа
  • Вычисление пределов
  • Раскрытие неопределенностей
  • Дифференцирование функций
  • Правило Лопиталя вычисления пределов
  • Найти частные производные первого порядка
  • Производная по направлению и градиент
  • Исследование функций
  • Направления выпуклости графика функции
    одного переменного
  • Провести полное исследование
    и построить график функции
  • Экстремумы функции двух переменных.
  • Интегралы и их приложения
  • Внесение под знак дифференциала
    и замена переменной
    .
  • Интегрирование выражений,
    содержащих квадратный трехчлен
  • Приложения определенного интеграла
  • История искусства
    Художественный авангард
    Эпоха становления русской живописи
  • Облик России в произведениях
    мастеров живописи
  • Портрет В. Л. Боровиковского
  • В. Л. Боровиковский. Портрет Павла I
  • Жестокие причуды императора вошли в историю
  • Правление в России есть самовластие,
    ограниченное удавкой
  • Портрет Дмитрия, митрополита Ростовского
  • В. Л. Боровиковский. Портрет поэта
    Г. Р. Державина
  • Портрет сподвижника Петра I А. И. Румянцева
  • Феодосий Иванович Яненко
  • Жан‑Лоран Монье
  • Жан (Иван Михайлович) Жерен
  • Чудотворные иконы
  • Преподобный Агапит Печерский
  • Святитель Алексий, митрополит Московский
    и всея России
  • Святая Анастасия Римляныня
  • Святитель Андрей, архиепископ Критский
  • Блаженный Андрей, Христа ради юродивый
  • Святой праведный Артемий Веркольский
  • Святая великомученица Варвара
  • Святой блаженный Василий,
    Московский чудотворец
  • Преподобный Виталий Александрийский
  • Святой мученик Вонифатий Тарсийский
  • Бахчисарай и дворцы Крыма
  • Тавроскифия
  • Крымский дольмен
  • Базилики Херсонеса
  • Богом дарованная Феодосия
  • Феодоро. Княжество в скалах
  • Чуфут‑Кале – орлиное гнездо
  • Эски‑Кермен
  • Образы Италии XXI века
  • Милан Улыбка Леонардо
  • Тайная вечеря» в Санта Мария делле Грацие
  • Кастелло Сфорцеско
  • Роспись, выставленная в Кастелло Сфорцеско
  • В коллекции живописи Кастелло Сфорцеско
  • роман Алессандро Мандзони «Обрученные»
  • Что такое барокко?
  • Деятельность Карло Борромео
    предшествует барокко
  • Итальянский XIX век пролетает мимо
    просвещенного туриста
    .
  • золотой век русской культуры
  • Русский павильон на Венецианской биеннале
  • Итальянский комфорт
    и итальянская элегантность
  • Церковь И Джезуити
  • Церковь ди Сан Джоббе
  • Картина «Рождество» в церкви ди Сан Джоббе
  • Кампьелло Сант’Анжело
  • Казино дельи Спирити
  • Свадьба Тициана
  • Дева качает на колене Младенца.
  • Царские и шамилевские крепости
    в Дагестане
  • Внезапная
  • На берегу Чираг‑Чая
  • «Бэла» из Чирага
  • Осада Шамиля
  • Кизляр в русской литературе
  • Хунзахская цитадель
  • Зиряни (Зирани)
  •  

     

    Математический анализ

    Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

    Определители 4-го порядка. Методы их вычисления

    Ранг матрицы

    Теорема Кронекера-Капелли

    Векторная алгебра и аналитическая геометрия

    Координаты вектора

    Смешанное произведение векторов

    Угол между двумя прямыми

    Общее уравнение кривой второго порядка

    Неполные уравнения плоскостей

    Поверхности второго порядка

    Математический анализ – совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Основателями этой дисциплины являются английский учёный И. Ньютон (1643–1727) и немецкий учёный Г. Лейбниц (1646–1716). Дальнейшее развитие математический анализ получил в работах таких известных математиков, как Я. Бернулли (1654–1705), И. Бернулли (1667–1748), Б. Тейлор (1685–1731), Л. Эйлер (1707–1783), Ж. Лагранж (1736–1813), Ж. Фурье (1768–1830), О. Коши (1789–1857), К. Якоби (1804–1851), К. Вейерштрасс (1815–1897), Б. Риман (1826–1866), М. Жордан (1838–1922), Г. Кантор (1845–1918) и многих других. Классическая часть современного математического анализа окончательно сформировалась к началу XX столетия. Эта часть анализа преподаётся на первых двух курсах университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех технических вузов у нас в стране и за рубежом.

    Пределы и непрерывность функции

    Теоремы о пределах Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём .

    Дифференциальное исчисление функции одной перменной Примеры. Найти производную функции     у = lnarctgx

    Производная степенной функции с любым действительным показателем Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Примеры.    Найти у''' для функции y = cos2x.

    Логарифмическое дифференцирование Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции. Пример. Найти производную функции y = (sinx)x

    Применение производной к исследованию функций Интервалы монотонности. Экстремумы Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

    Пример. Исследовать функцию y = x-2arctg x и построить ее график.

     

    Лекция Числовые множества. Мощность множеств Расширенная числовая прямая Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие

    Ограниченные и неограниченные множества Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств.

    Предел последовательности Примеры. Выписать четыре первых члена следующих последовательностей  и сделать предположение об их возможных пределах.

    Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко.

    Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши

    Пример. Пусть pn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +¥, и qn – произвольная последовательность чисел, стремящаяся к –¥. Доказать, что .

    Первое определение предела функции Пример. Вычислить предел функции Дирихле в точке x0=0 по множествам .

    Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

    Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.

    Ограниченность непрерывных на отрезке функций Пример. Показать, что на интервале непрерывная функция может быть неограниченной и не достигать верхней (нижней) грани.

    Непрерывность функций Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция непрерывна в произвольной точке x = a.

    Определение предела функции Используя - определение предела, показать что .

    Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию на непрерывность.

    Геометрическая прогрессия Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

    Раскрытие неопределенностей Вычислить предел .

    Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).    

    Правило Лопиталя Вычислить предел . Решение. Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

    Свойства пределов Найти предел .

    Определение производной функции Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции

    Геометрический и физический смысл производной и дифференциала Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.

    Условие существования производственной сложной функции Пример. Вычислить производную функции .

    Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции .

    О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.

    Решение задач на вычисление интеграла

    Первообразная и неопределённый интеграл В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной. Пример. Вычислить интеграл . .

    Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R

    Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

    Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

    Метод замены переменной Вычислить интеграл . Решение. Применяем подстановку . Тогда или .

    Пример Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

    Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами

    Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

    Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

    Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

    Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

    Двойные интегралы в прямоугольной области Вычислить двойной интеграл в области .

    Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

    Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

    Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

    • Длина кривой; Найти длину кривой при условии .
    • Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
    • Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

    Пример 4 Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом фиде вектором в интервале

    Пример 7 Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2

    Геометрические приложения поверхностных интегралов С помощью поверхностных интегралов вычисляются

    • Площадь поверхности; Пример 1 Вычислить площадь поверхности части параболоида , лежащей выше плоскости xy.
    • Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью.

    Пример 4 Вычислить объем эллипсоида .

    Пример 5 С помощью формулы Грина вычислить интеграл , где контур C представляет собой треугольник ABD с вершинами A (a,0), B (a,a), D (0,a).

    Интегрирование по частям Пример Вычислить интеграл . Решение. Используем формулу интегрирования по частям . Пусть .

    Несобственные интегралы Пример Определить, при каких значениях k интеграл сходится.

    Определить, сходится или расходится несобственный интеграл ?

    Вычислить периметр единичной окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности в первом квадранте между x = 0 и x = 1 и затем умножим результат на 4.

    Пример 6 Вычислить интеграл без использования замены переменной.

    Интегрирование гиперболических функций Вычислить интеграл .

    Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

    Пример Найти интеграл . Решение. Сделаем подстановку:      

    Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

    Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

    Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

    Криволинейные интегралы первого рода Пример Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

    Криволинейные интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

    Теорема Остроградского-Гаусса Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

    Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:

    Физические приложения двойных интегралов Пример 1 Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

    Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур

    Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

    Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

    Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

    Физические приложения тройных интегралов Масса и статические моменты тела Найти центроид однородного полушара радиусом R.

    Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

    Теорема Стокса Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

    Поверхностные интегралы первого Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

    Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

    Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .

    Тройные интегралы в декартовых координатах Вычислить интеграл       где область U расположена в первом октанте ниже плоскости 3x + 2y + z = 6.

    Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл       где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

    Тройные интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

    Решение типового задания по теме ряды

    Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость Исследовать на сходимость ряд .

    Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями .

    Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Вычислить сумму ряда .

    Сходимость рядов. Признаки сравнения Пример Определить, сходится или расходится ряд .

    Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

    Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.

    Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

    Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x.

    Определить, сходится или расходится ряд .

    Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале

    Пример Найти разложение в ряд Фурье функции:  

    Показать, что гармонический ряд расходится.

    Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.

    Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

    Найти ряд Маклорена для функции .